兼具強固性的下注建議
凱利公式 (Kelly Formula)
~I. 公式介紹 ~
先簡單解釋一下何謂標題中提到的「強固」。該名詞為塔雷伯(Nassim Nicholas Taleb)所提出，意指不會有爆炸的危險。因為若使用凱利公式所建議的下注比例，最糟的狀況也只是損失下注金額，不會波及到其餘的本金。這跟某些大量舉債以產生穩定收益的投資方法是截然不同的(塔雷伯會將此類歸為「脆弱」)。
凱利公式最初發明的目的是用來處理通訊上的雜訊問題，但後來被愛德華·索普(Edward Oakley Thorp)應用在賭場的21點上，並且發揚光大。不過，賺大錢的代價就是被各家賭場視為眼中釘，並且禁止進入。於是索普轉戰剛萌芽的選擇權市場，並發明了最早的選擇權定價模型─布雷克-休斯模型(Black-Scholes Model)，從市場中大賺一筆。但是由於索普從未發表此模型，因此後來該公式便以發表者費雪·布雷克(Fischer Black)及麥倫·休斯(Myron Scholes)來命名(順帶一提，麥倫後來爆炸了)。
凱利公式的樣貌如下：
凱利公式的樣貌如下：
其中
- F* = 下注比例
- b = 賠率 = 獲利金額 /虧損金額
- p = 獲利機率
- q =虧損機率
由於公式中含有一個扣除項目，因此只要勝率不是100%，基本上你的本金是不會全押上的(但若是穩贏的賭局，為何不全押？)。另外，仔細一看後，會發現該公式的分子其實是期望值。這也意味著，若賭局的期望值小於0的話，根本沒必要繼續玩下去(但若你是個純粹的賭徒則另當別論了)。
~II. 實戰應用 - 賭局與股市 ~
好了，在你認識了凱利公式後，該怎麼應用在實際賭局上呢？讓我們假設你找到了一個擲骰子的賽局，其規則如下：
碰到這樣的賭局，凱利公式會怎麼建議我們呢？我們試著將賭局條件帶進公式看看。
首先是公式參數：
b = 獲利金額 /虧損金額 = 6/1 =6
P = 出現1點的機率 = 1/6 =16.67%
q = 出現其他點數機率 = 5/6 =83.33%
F* = p - ( q / b )
=16.67 - (83.33 / 6 )
=2.78%
上述推導所得出的2.78%就是最佳化的下注建議，該比例可在控制虧損金額的情況下，令財富達到最快的增長速度。以100元的本金而言，這場賭局最多只能下2元。上述案例因為報酬和勝率都相當不吸引人，因此凱利公式冷靜地叫你用微薄的比例下注就好。
由於凱利公式一般都是使用在明確金額的賽局上，但若想拿來應用在股市上的話，該怎麼辦？其實很簡單，只需要將賠率的計算須由損益金額改為本金的報酬率即可，如下：
舉例來說，若你辛苦做了許多研究，終於發現了一檔超值股票。你評估了一下後，列出你對它的看法：
於是在上述前提下，可得到公式參數：
b = 本金報酬率 / 本金虧損率 = 50% / 40% = 1.25
p = 獲利可能性 = 70 %
q =虧損可能性 = 30%
故便可求得：
F* = p - ( q / b )
=0.7 - (0.3 / 1.25 )
=0.7 - 0.24
=46%
因此根據凱利公式的建議，你對該股票的最大下注比例便是46%。但是請注意，凱利公式只是個參考值，沒必要每次都下到最大注。以本例而言，或許你只要下10%比例便可。在如此嚴格控制虧損金額的情況下，你的投資將可由「強固」昇華至「反脆弱」。
~III. 進階應用 - 多重可能結果的下注 ~
現在，我們可以讓股票的評估稍微複雜一點，以符合實際的狀況。上述例子中的你，重新評估後，決定修改列出你對該股票的看法：
- 產生50%報酬的可能性: 40%
- 產生20%報酬的可能性: 30%
- 產生40%虧損的可能性: 29%
- 產生100%虧損的可能性: 1%
對於這種多重可能的結果，該如何使用凱利公式呢？其實作法也是很簡單，首先要區分獲利和虧損的機率：
p = 獲利可能性 = 40% + 30% =70%
q = 虧損可能性 = 29% + 1% = 30%
接下來便是計算賠率。但須注意的是，在報酬和虧損率的部分，需用平均值來計算。計算如下：
平均報酬率 = 50%*40%+20%*30% / 40%+30% =0.37
平均虧損率 = 40%*29%+100%*1% / 29%+1% =0.42
b = 平均報酬率 / 平均虧損率 =37% / 42% =0.88
F* = p - ( q / b )
=0.7 - (0.3 / 0.88 )
=36%
因此上式最後得出的36%便是下注的建議值。
藉由多重可能結果的條件，可使評估過程更為平滑，不再只拘泥於大賺或大賠的下注比例。此公式推演在書中並未提到(書中甚至沒給公式)，而也就是這部分困擾了我許久。
~IV. 投資組合控管 ~
學會單一個股的資金配置方法後，接下來便可以延伸至整體的投資組合。假設你辛苦做了許多研究，終於挑選出5檔令你滿意的股票。再經過評估與計算後，凱利公式對這5檔股票的下注比例如表1所示：
- 股票 資金比例
- 公司A 30%
- 公司B 50%
- 公司C 40%
- 公司D 60%
- 公司E 20%
- 總計 200%
表1. 個別公司的下注建議
問題來了，下注資金總計為200%，已經超過本金了，那該怎麼辦？(千萬不要去舉債讓本金達到200%阿！)答案其實很簡單，只要將所有比例除以200%便可讓總計回復成100%了。於是經過調整後的資金配置如下：
- 股票 資金比例 實際比率
- 公司A 30% 15%
- 公司B 50% 25%
- 公司C 40% 20%
- 公司D 60% 30%
- 公司E 20% 10%
- 總計 200% 100%
表2. 個別公司的實際下注建議
由於實際的資金配置已經剩下建議值的一半，再加上個別股票間的關聯性低(除非你5檔都選同一個產業的類股)，因此你的投資組合在價格波動和風險上將可獲得有效地保障註1。
這邊補充一下，《下重注的本事：當道投資人的高勝算法則》書中的作者帕波萊(Mohnish Pabrai)在帕波萊基金管理上，一律設定為10%。他認為雖然這樣的配置並非最佳化，但卻可以處理預估表現的失誤。舉例來說，他發現他認為應該表現最好的股票卻常會輸給預估表現第三、第四好的股票。縱然這樣的報酬比不過將80%資金重壓在少數幾檔股票上，但整體而言仍可令他滿意(這傢伙的年化報酬有28%阿...)。
~V. 結論~
文章到這邊，相信各位已經學會基本的凱利公式及資金配置了。雖然你現在可能感覺有如神助，不過還是得記住，在股市之中，沒有什麼事情是確定的。須注意到，公式中的每一項參數都是由你自己評估後所訂出的。只要是主觀的參數設定，都很容易產生誤差。就像是本文的例子中，光是多出了兩項可能結果便會使下注比例降低10%。因此，一般狀況下，還是不要使用到最大下注比例，別對自己太有自信比較好。
註1:補充說明，這裡的波動性及風險低是建立在「個別股票間的關聯性低」的這個要點。事實上凱利公式並不確保波動率，它只在乎最終的結果。